Question

13．二项式（ax-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）³（a＞0）的展开式的第二项的系数为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则${∫}_{0}^{a}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$-x）dx的值为（　　）

• A． $\frac{π-2}{4}$
• B． $\frac{π-2}{2}$
• C． $\frac{π-1}{2}$
• D． $\frac{π-1}{4}$

Answer 1

分析 二项式（ax-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）³（a＞0）的展开式的第二项=${∁}_{3}^{1}（ax）^{2}（-\frac{\sqrt{3}}{6}）$，由题意解得a=1.${∫}_{0}^{a}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$-x）dx=${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$-x）dx，令y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，化为（x-1）²+y²=1（y≥0），画出函数y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，y=x的图象．利用微积分基本定理结合图象即可得出．

解答 解：∵二项式（ax-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）³（a＞0）的展开式的第二项=${∁}_{3}^{1}（ax）^{2}（-\frac{\sqrt{3}}{6}）$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$a²x²，
∴$-\frac{\sqrt{3}}{2}$a²=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a=1．
∴${∫}_{0}^{a}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$-x）dx=${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$-x）dx，
令y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，化为（x-1）²+y²=1（y≥0），
画出函数y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，y=x的图象．
由y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，y=x联立解得x=y=1．
则${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$-x）dx=$\frac{1}{4}×π×{1}^{2}$-$\frac{1}{2}×{1}^{2}$=$\frac{π-2}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查了二项式定理的性质及其通项公式、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．