Question

2．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且2a_n+S_n=An²+Bn+C．
（1）当A=B=0，C=1时，求a_n；
（2）若数列{a_n}为等差数列，且A=1，C=-2．
①求a_n；
②设b_n=2ⁿa_n，设T_n是数列{b_n}的前n项和，对任意的正整数n，T_n-（2n+m）•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当A=B=0，C=1时，当n=1时，求得a₁=$\frac{1}{3}$，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{3}$，数列{a_n}是以$\frac{1}{3}$为首项，$\frac{2}{3}$为公比的等比数列，根据等比数列通项公式即可求得a_n；
（2）当A=1，C=-2．根据等差数列通项公式及前n项和公式，代入即可求得a₁和d，求得a_n，由①求得b_n=2ⁿa_n=（2n-1）2ⁿ，采用“错位相减法”即可求得T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹，由T_n-（2n+m）•2ⁿ⁺¹＞0，即m+3＜（$\frac{3}{{2}^{n}}$）min，即可求得实数m的取值范围．

解答 解：（1）当A=B=0，C=1时，2a_n+S_n=1，即S_n=1-2a_n，
当n=1时，2a₁+a₁=1，a₁=$\frac{1}{3}$，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{3}$，
∴数列{a_n}是以$\frac{1}{3}$为首项，$\frac{2}{3}$为公比的等比数列，
a_n=$\frac{1}{3}$×（$\frac{2}{3}$）^n-1，
（2）①数列{a_n}为等差数列，
∴设a_n=a₁+（n-1）d，S_n=$\frac{d}{2}$n²+（a₁-$\frac{d}{2}$）d，
2a_n+S_n═$\frac{d}{2}$n²+（a₁-$\frac{d}{2}$）d+2a₁-2d=n²+Bn-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{d}{2}=1}\\{{a}_{1}+\frac{3d}{2}=B}\\{2{a}_{1}-2d=-2}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{{a}_{1}=1}\end{array}\right.$，a_n=2n-1，
②b_n=2ⁿa_n=（2n-1）2ⁿ，
∴T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）2ⁿ，①
2T_n=1×2²+3×2³+5×2⁴+…+（2n-1）2ⁿ⁺¹，②
 ①-②得，T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
T_n-（2n+m）•2ⁿ⁺¹＞0
∴（m+3）•2ⁿ⁺¹＜6
∴m+3＜（$\frac{3}{{2}^{n}}$）min，
∴m+3≤0，
∴m≤-3．

点评 本题考查等差数列及等比数列的前n项和公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查数列与不等式恒成立结合，考查计算能力，属于中档题．