Question

6．已知函数f（x）=4sin³xcosx-2sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos4x．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），利用周期公式可求函数f（x）的最小正周期，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{4}$]，可得4x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，利用正弦函数的性质可得f（x）在区间[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值为$\frac{1}{2}$和最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：（1）∵f（x）=4sin³xcosx-2sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos4x
=sin2x×（1-cos2x）-sin2x-$\frac{1}{2}$cos4x
=-$\frac{1}{2}$sin4x-$\frac{1}{2}$cos4x
=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$．
∵由2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可得：$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{16}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{16}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为：[$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{16}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{16}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴4x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴sin（4x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴f（x）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$]，可得f（x）在区间[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值为$\frac{1}{2}$和最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，三角函数周期公式的应用，考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．