Question

15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F₂的直线m交椭圆C于不同的两点M、N，试求△F₁MN面积最大时直线m的方程．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的离心率求得a²=4b²，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线MN的方程，代入椭圆方程，利用弦长公式即可求得丨MN丨，求得F₂到直线MN的距离，根据三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得△F₁MN面积的最大值，即可求得t的值．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a²=4b²，
将（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，即$\frac{3}{4{b}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1$，解得：b²=1，则a²=4，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知：椭圆的右焦点F₂（$\sqrt{3}$，0），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．设直线m的方程为x=ty+$\sqrt{3}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（t²+4）y²+2$\sqrt{3}$ty-1=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2\sqrt{3}t}{{t}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{t}^{2}+4}$，
则丨MN丨=$\sqrt{1+{t}^{2}}$丨y₁-y₂丨=$\sqrt{1+{t}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{t}^{2}}$•$\sqrt{\frac{12{t}^{2}}{（{t}^{2}+4）^{2}}-4×（-\frac{1}{{t}^{2}+4}）}$=$\frac{4（1+{t}^{2}）}{{t}^{2}+4}$，
F₁到直线MN的距离d=$\frac{丨t×0+\sqrt{3}-（-\sqrt{3}）丨}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，
则△F₁MN面积S=$\frac{1}{2}$×丨MN丨×d=$\frac{1}{2}$×$\frac{4（1+{t}^{2}）}{{t}^{2}+4}$×$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{1+{t}^{2}}}{{t}^{2}+4}$=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+1+3}$=4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+1}+\frac{3}{\sqrt{{t}^{2}+1}}}$≤4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2\sqrt{\sqrt{{t}^{2}+1}×\frac{3}{\sqrt{{t}^{2}+1}}}}$=4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2\sqrt{3}}$=2，
当且仅当$\sqrt{{t}^{2}+1}$=$\frac{3}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$，即t²=2，即t=±$\sqrt{2}$，
直线m的方程$\sqrt{2}$y-x+$\sqrt{3}$=0或-$\sqrt{2}$y-x+$\sqrt{3}$=0．

点评 本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．