Question

18．设p：实数x满足ax-（1+a²）x²＞0（a＞0）；q：实数x满足2x²-x-1＜0．若（￢p）∧q为真，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出命题p、q为真时，x的范围，由（￢p）∧q为真⇒p假、q真，列式求解．

解答 解：当命题p真：不等式ax-（1+a²）x²＞0（a＞0）⇒（1+a²）x²-ax＜0⇒0＜x＜$\frac{a}{1+{a}^{2}}$；
命题q真时：2x²-x-1＜0⇒-$\frac{1}{2}$＜x＜1；
由（￢p）∧q为真⇒p假、q真⇒$\left\{\begin{array}{l}{x≤0或x≥\frac{a}{1+{a}^{2}}}\\{-\frac{1}{2}＜x＜1}\end{array}\right.$，
因为a＞0，∴$\frac{a}{1+{a}^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{a}+a}≤\frac{1}{2}$
∴$-\frac{1}{2}＜x≤0或\frac{a}{1+{a}^{2}}≤x＜1$．
实数x的取值范围为：{x|-$\frac{1}{2}＜x≤0\\;或\frac{a}{1+{a}^{2}}≤x＜1\}$或$\frac{a}{1+{a}^{2}}≤x＜1$}

点评 本题考查了命题真假的应用，及解一元二次不等式，属于中档题．