Question

8．已知函数f（x）=|2x-a|+5x，a＞0．
（1）若不等式f（x）≤0解集为{x|x≤-1}，求a的值；
（2）若不等式f（x）≥4x+1对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）≤0，即|2x-a|≤-5x，由x≤-1，可得5x≤2x-a≤-5x，a＞0，解出即可得出．
（2）不等式f（x）≥4x+1化为：|2x-a|≥1-x，由不等式f（x）≥4x+1对x∈R恒成立，即|2x-a|≥1-x，对于任意实数成立，可得$1≤\frac{a}{2}$，解出即可得出．

解答 解：（1）不等式f（x）≤0，即|2x-a|≤-5x，∵x≤-1，∴5x≤2x-a≤-5x，a＞0，
解得x$≤\frac{a}{7}$，且x≤$-\frac{a}{3}$，∴$-\frac{a}{3}$=-1，解得a=3．
（2）不等式f（x）≥4x+1化为：|2x-a|≥1-x，
∵不等式f（x）≥4x+1对x∈R恒成立，
∴|2x-a|≥1-x，对于任意实数成立，∴$1≤\frac{a}{2}$，解得a≥2．
∴实数a的取值范围是[2，+∞）．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法、恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．