Question

8．设函数f（x）=min{x²-1，x+1，-x+1}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者，若f（a+2）＞f（a），则实数a的取值范围为（-∞，-2）∪（-1，0）．

Answer 1

分析 在同一坐标系内画出三个函数y=1-x，y=x+1，y=x²-1的图象，以此作出函数f（x）图象，观察最小值的位置，通过图象平移，可得a＜-1，且（a+2）²-1＞a+1，①或-（a+2）+1＞a²-1，②，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：f（x）=min{x²-1，x+1，-x+1}
=$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{x+1}{{x}^{2}-1}}&{\stackrel{x＜-1}{-1≤x≤1}}\\{-x+1}&{x＞1}\end{array}\right.$，
作出f（x）的图象，可得：
f（a+2）＞f（a）变为：a＜-1，且（a+2）²-1＞a+1，①
或-（a+2）+1＞a²-1，②
①变为a²+3a+2＞0，解得a＜-2；
②变为a²+a＜0，解得-1＜a＜0．
则实数a的取值范围为（-∞，-2）∪（-1，0）．
故答案为：（-∞，-2）∪（-1，0）．

点评 本题考查了函数的概念、图象、最值问题．利用了数形结合的方法．关键是通过题意得出f（x）的简图，属于中档题．