题目内容

设奇函数f（x）对任意x∈R都有数学公式．
（1）求数学公式和数学公式的值；
（2）数列{an}满足：an=f（0）+数学公式数学公式，数列{an}是等差数列吗？请给予证明．

解：（1）∵，且f（x）是奇函数
∴
∴，故（3分）
因为，所以．
令，得，即．（6分）
（2）令
又
两式相加．
所以，（6分）
故（10分）
又．故数列{an}是等差数列．（12分）
分析：（1）根据，且f（x）是奇函数，将代入，可求的值，再结合奇函数得到．令，即可求得结论；
（2）利用倒序相加法结合第一问的结论，求出Sn，进而求出数列{an}的通项公式，再根据定义即可证得数列{an}是等差数列．
点评：本题主要考查数列与不等式的综合问题．解决本题第一问的关键在于利用奇函数的性质得到．而解决第二问的关键在于用到了倒序相加求和．
练习册系列答案
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设奇函数f（x）对任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+
1
2
．
（1）求f(
1
2
)和f(
k
n
)+f(
n-k
n
)(k=0，1，2，…，n)的值；
（2）数列{an}满足：an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)-f(
1
2
)，数列{an}是等差数列吗？请给予证明．
（2012•广东模拟）设奇函数f（x）对任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+
1
2
．
（1）求f(
1
2
)和f(
k
n
)+f(
n-k
n
)(k=0，1，2，…，n)的值；
（2）数列{an}满足：an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)-f(
1
2
)，数列{an}是等差数列吗？请给予证明；
（3）设m与k为两个给定的不同的正整数，{an}是满足（2）中条件的数列，
证明：
s
n=1
|
(m+1)nan+1
-
(kn+n+k+1)an
|＜(
s+1
2
)2|
m
-
k
|（s=1，2，…）．
设奇函数f（x）对任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+
1
2
．
（1）求f(
1
2
)和f(
k
n
)+f(
n-k
n
)(k=0，1，2，…，n)的值；
（2）数列{an}满足：an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)-f(
1
2
)，数列{an}是等差数列吗？请给予证明．
设奇函数f（x）对任意x∈R都有．
（1）求和的值；
（2）数列{an}满足：an=f（0）+，数列{an}是等差数列吗？请给予证明；
（3）设m与k为两个给定的不同的正整数，{an}是满足（2）中条件的数列，
证明：（s=1，2，…）．
设奇函数f（x）对任意x∈R都有．
（1）求和的值；
（2）数列{an}满足：an=f（0）+，数列{an}是等差数列吗？请给予证明；
（3）设m与k为两个给定的不同的正整数，{an}是满足（2）中条件的数列，
证明：（s=1，2，…）．

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