题目内容
已知
=（p，cosx），
=（sinx，3），凼数f（x）=
•
．
（1）若凼数g（x）=f（x）-q（q为常数）相邻两个零点的横坐标分别为x1=
，x2=
，则求q的值以及凼数f（x）在（-
，
）上的值域；
（2）在（1）的条件下，在△ABC中，满足f（B）=6，且AC=1，
+
=
，求|
|的最大值．
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）若凼数g（x）=f（x）-q（q为常数）相邻两个零点的横坐标分别为x1=
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
（2）在（1）的条件下，在△ABC中，满足f（B）=6，且AC=1，
| AM |
| CM |
| 0 |
| BM |
考点：三角函数的最值,平面向量数量积的运算
专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用
分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示以及和差化简公式，可得p，再由两角和的正弦公式求得f（x），以及正弦函数的图象和性质，即可求得值域；
（2）由特殊角的三角函数值，可得B，再由余弦定理和基本不等式可得ac的最大值，再由向量的中点表示和向量的模即为模的平方，即可得到所求的最大值．
（2）由特殊角的三角函数值，可得B，再由余弦定理和基本不等式可得ac的最大值，再由向量的中点表示和向量的模即为模的平方，即可得到所求的最大值．
解答：
解：（1）由
=（p，cosx），
=（sinx，3），
函数f（x）=
•
=psinx+3cosx，
g（x）=psinx+3cosx-q，
由题意可得psin
+3cos
=q，psin
+3cos
=q，
两式相减可得，p=
=
=3
．
q=3
sin
+3cos
=6sin（
+
）=6sin
=3
，
则有f（x）=3
sinx+3cosx=6（
sinx+
cosx）=6sin（x+
），
由x∈（-
，
），x+
∈（-
，
），
则sin（x+
）∈（-
，1]，f（x）∈（-3
，6]
则值域为（-3
，6]；
（2）f（B）=6sin（B+
）=6，（0＜B＜π），
则B=
，
由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=1，
即a2+c2=1+ac，
由于a2+c2≥2ac，则ac≤1，当且仅当a=c=1取得等号，
由
+
=
，则M为AC的中点，
则
=
（
+
），
|
|2=
（
2+
2+2
•
）=
（c2+a2+2accos
）=
（1+2ac）≤
，
即有|
|≤
．
当△ABC为等边三角形时，|
|取得最大值，且为
．
| a |
| b |
函数f（x）=
| a |
| b |
g（x）=psinx+3cosx-q，
由题意可得psin
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
两式相减可得，p=
-3(cos
| ||||
sin
|
6sin
| ||||
2cos
|
| 3 |
q=3
| 3 |
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
| 2 |
则有f（x）=3
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
由x∈（-
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
则sin（x+
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
| 3 |
则值域为（-3
| 3 |
（2）f（B）=6sin（B+
| π |
| 6 |
则B=
| π |
| 3 |
由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=1，
即a2+c2=1+ac，
由于a2+c2≥2ac，则ac≤1，当且仅当a=c=1取得等号，
由
| AM |
| CM |
| 0 |
则
| BM |
| 1 |
| 2 |
| BA |
| BC |
|
| BM |
| 1 |
| 4 |
| BA |
| BC |
| BA |
| BC |
| 1 |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
即有|
| BM |
| ||
| 2 |
当△ABC为等边三角形时，|
| BM |
| ||
| 2 |
点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和中点的向量表示，及向量的平方即为模的平方，考查和差化积公式和两角和差的正弦公式，考查余弦定理和基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．
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A、[-
| ||||
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| ||||
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| ||||
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|
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