Question

点M的直角坐标为(-1，-1，

2

)，则它的球坐标为（　　）

• A、(2，

  π

  4

  ，

  π

  4

  )
• B、(2，

  π

  4

  ，

  5π

  4

  )
• C、(2，

  5π

  4

  ，

  π

  4

  )
• D、(2，

  3π

  4

  ，

  π

  4

  )

Answer 1

分析：利用球坐标系（r，θ，φ）与直角坐标系（x，y，z）的转换关系：x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ；反之，直角坐标系（x，y，z）与球坐标系（r，θ，φ）的转换关系为：r=

x 2+y 2+z 2

； φ=arctan（

y

x

）； θ=arccos（

z

r

）；进行转换即得．

解答：解：设点M的球面坐标系的形式为（r，φ，θ），r是球面半径，φ为向量OA在xOy面上投影到X正方向夹角，θ为向量OA与z轴正方向夹角
所以r=

(-1) 2+(-1) 2+( 2 ) 2

=2，容易知道φ=45°=

π

4

同时结合点M的直角坐标为(-1，-1，

2

)，
可知 tanθ=

y

x

=1，所以 θ=

5π

4

所以球面坐标为(2，

π

4

，

5π

4

)
故选B．

点评：假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段OP与z轴正向的夹角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影．这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，显然，这里r，φ，θ的变化范围为r∈[0，+∞），φ∈[0，2π]，θ∈[0，π]，