Question

7．已知${log_4}（3a+4b）={log_2}\sqrt{2ab}$，则a+b的最小值为$\frac{7+4\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由${log_4}（3a+4b）={log_2}\sqrt{2ab}$，可得3a+4b=$（\sqrt{2ab}）^{2}$=2ab，a，b＞0.$\frac{3}{b}+\frac{4}{a}$=2，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵${log_4}（3a+4b）={log_2}\sqrt{2ab}$，∴3a+4b=$（\sqrt{2ab}）^{2}$=2ab，a，b＞0．
∴$\frac{3}{b}+\frac{4}{a}$=2，∴a+b=$\frac{1}{2}$（a+b）$（\frac{3}{b}+\frac{4}{a}）$=$\frac{1}{2}$（7+$\frac{3a}{b}$+$\frac{4b}{a}$）≥$\frac{7+2\sqrt{\frac{3a}{b}×\frac{4b}{a}}}{2}$=$\frac{7+4\sqrt{3}}{2}$，
当且仅当$\sqrt{3}$a=2b=3+2$\sqrt{3}$．
则a+b的最小值为$\frac{7+4\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{7+4\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了对数函数的性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．