Question

10．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，?x∈（0，+∞），f[f（x）-lnx]=e+1，函数h（x）=xf（x）-ex的最小值为（　　）

• A． -1
• B． $-\frac{1}{e}$
• C． 0
• D． e

Answer 1

分析 由设t=f（x）-lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，求出f（x）=lnx+e，再求出jh（x），根据导数和函数的最值的关系即可求出．

解答 解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=e+1，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
∴f（x）-lnx为定值，
设t=f（x）-lnx，
∴f（x）=lnx+t，
又由f（t）=e+1，
即lnt+t=e+1，
解得：t=e，
∴f（x）=lnx+e，
∴h（x）=xf（x）-ex=xlnx，
∴h′（x）=1+lnx，
令h′（x）=0，解得x=$\frac{1}{e}$，
当h′（x）＞0时，即x＞$\frac{1}{e}$，函数h（x）单调递增，
h′（x）＞0时，即0＜x＜$\frac{1}{e}$，函数h（x）单调递减，
∴h（x）_min=h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
故选：B．

点评 本题考查了导数的运算和函数的最值，关键是求出f（x），属于中档题