Question

已知函数
（1）若g（x）与f（x）在同一点处有相同的极值，求实数a的值；
（2）对一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）记求证：当．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知f′（x）=3x²-a，，由此求出当x=1时，g（x）有极小值g（1）=-2．由g（x）与f（x）在同一点处有相同的极值，知f（1）=-2，且f′（1）=0，从而能求出a．
（2）对一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3恒成立等价于a≤，记t（x）=2lnx++x，x＞0，则=，由此能求出实数a的取值范围．
（3）当，等价于当≥1时，总有xlnx≤-．设F（x）=xlnx+-，x≥1，由此利用导数性质能够证明故当．
解答：（1）解：∵，
∴f′（x）=3x²-a，，
令=0，得x=1，（x=-1舍）
当0＜x＜1时，g′（x）0．
∴当x=1时，g（x）有极小值g（1）=-2．
∵g（x）与f（x）在同一点处有相同的极值，
∴f（1）=-2，且f′（1）=0，即，
解得a=3．
（2）解：不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3转化为：
+5x-3，
化简，得ax≤2xlnx+x²+3，
∵x∈（0，+∞），
∴a，
∵对一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3恒成立，
∴a≤，
记t（x）=2lnx++x，x＞0，则==，
令t′（x）=0，得，解得x=1．
在（0，1）上，t′（x）＜0；在（1，+∞）上，t′（x）＞0．
故当x=1时，t（x）有极小值为4，
故a∈（-∞，4]．
（3）证明：∵g（x）=，
∴
=
=xlnx+，
∵当，
∴当≥1时，总有xlnx≤-．
设F（x）=xlnx+-，x≥1
则F′（x）=lnx+1-x，令F′（x）=0，得x=1．
当x＞1时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，
∴F（x）=xlnx+-≤0．
故当．
点评：本题考查实数值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质、构造法、等价转化思想的合理运用．