Question

（文）（1）已知函数f（x）=x²+mx+3，当x∈[-2，2]时，f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．
（2）已知函数f（x）=x²+mx+3，当至少有一个x∈[-2，2]时，使f（x）≥m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当x∈[-2，2]时，f（x）≥m恒成立等价于f（x）_min≥m，按对称轴x=

m

2

与区间的位置关系分情况讨论即可求得最小值；
（2）至少有一个x∈[-2，2]时，使f（x）≥m成立等价于f（x）_max≥m，按-

m

2

≤0及-

m

2

＞0两种情况讨论即可求得最大值；

解答：解：（1）设f（x）在[-2，2]上的最小值为g（m），
则满足g（m）≥m的m即为所求．
配方得f(x)=(x+

m

2

)2+3-

m2

4

，(|x|≤2)．
①当-2≤-

m

2

≤2，即-4≤m≤4时，g(m)=3-

m2

4

，
由3-

m2

4

≥m，解得-6≤m≤2，
所以-4≤m≤2．
②当-

m

2

≥2，即m≤-4时，g（m）=f（2）=7+2m，
由7+2m≥m，解得m≥-7，
所以-7≤m≤-4．
③当-

m

2

≤-2，即m≥4时，g（m）=f（-2）=7-2m，
由7-2m≥m，解得m≤

7

3

，此与m≥4矛盾，
故此种情况不存在．
综上所述，得-7≤m≤2．
（2）设f（x）在[-2，2]上的最大值为h（m），
则满足h（m）≥m的m即为所求．
配方得f(x)=(x+

m

2

)2+3-

m2

4

，(|x|≤2)．
①当-

m

2

≤0，即m≥0时，h（m）=f（2）=7+2m，
由7+2m≥m，解得m≥-7，所以m≥0．
②当-

m

2

＞0，即m＜0时，h（m）=f（-2）=7-2m，
由7-2m≥m，解得m≤

7

3

，所以m＜0．
综上所述，m的取值范围为R．

点评：本题考查不等式恒成立问题及二次函数在给定闭区间上的最值问题，恒成立问题往往转化为函数最值解决，二次函数在闭区间上的最值要利用数形结合思想、分类讨论思想解决．