Question

13．D为△ABC的BC边上一点，$\overline{DC}=-2\overline{DB}$，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若$\overline{AE}=λ\overline{AB}，\overline{AF}=μ\overline{AC}$，其中λ＞0，μ＞0，则$\frac{2}{λ}+\frac{1}{μ}$=3．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，列出方程组求出λ与μ的表达式，即可求出$\frac{2}{λ}$+$\frac{1}{μ}$的值．

解答 解：如图所示，
∵$\overrightarrow{EB}$=$\overrightarrow{ED}$+$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{EB}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$；
又E，D，F三点共线，
∴存在实数k，使$\overrightarrow{ED}$=k$\overrightarrow{EF}$=k（$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{AE}$）=kμ$\overrightarrow{AC}$-kλ$\overrightarrow{AB}$；
又$\overrightarrow{DC}$=-2$\overrightarrow{DB}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$；
∴（1-λ）$\overrightarrow{AB}$=（kμ$\overrightarrow{AC}$-kλ$\overrightarrow{AB}$）-（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$），
即（1-λ）$\overrightarrow{AB}$=（kμ-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{AC}$+（$\frac{1}{3}$-kλ）$\overrightarrow{AB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{kμ-\frac{1}{3}=0}\\{1-λ=\frac{1}{3}-kλ}\end{array}\right.$，
解得μ=$\frac{1}{3k}$，λ=$\frac{2}{3（1-k）}$；
∴$\frac{2}{λ}$+$\frac{1}{μ}$=3（1-k）+3k=3．
故答案为：3．
故答案为：3．

点评 本题考查了平面向量的加法、减法运算，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，是综合性题目．