Question

4．在数列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=2，a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+2，n=2k-1}\\{{3a}_{n}，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求满足2a_n+1=a_n+a_n+2的正整数n的值．

Answer 1

分析 （1）对n分类讨论，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）对n分类讨论，利用（1）的通项公式及其二项式定理即可得出．

解答 解：（1）当n=2k-1时，a_2k+1-a_2k-1=2，∴数列{a_2k-1}是等差数列，公差为2，∴a_2k-1=1+2（k-1）=2k-1，即a_n=n．
n=2k时，a_2k+2=3a_2k，∴数列{a_2k}是等比数列，公比为3，∴${a}_{2k}=2×{3}^{k-1}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n=2k-1}\\{2×{3}^{\frac{n}{2}-1}，n=2k}\end{array}\right.$，（k∈N^*）．
（2）2a_n+1=a_n+a_n+2．
当n=2k-1时，2a_2k=a_2k-1+a_2k+1，∴2×2×3^k-1=2k-1+2k+1，化为3^k-1=k，当k=1时成立，n=1；当k≥2时，3^k-1=（1+2）^k-1=$1+{∁}_{k-1}^{1}×2$+${∁}_{k-1}^{2}×{2}^{2}$+…=2k-1+${∁}_{k-1}^{2}×{2}^{2}$+…＞k．因此k≥2，3^k-1=k不成立．
当n=2k时，2a_2k+1=a_2k+a_2k+2，∴2（2k+1）=2×3^k-1+2×3^k，化为：3^k-1=$\frac{2k+1}{4}$，利用二项式定理可得3^k-1＞$\frac{2k+1}{4}$，因此无解．
综上可得：只有n=1时，满足2a_n+1=a_n+a_n+2．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式、分类讨论方法、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．