Question

7．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=3，AC⊥BC，点M在线段AB上．
（1）若M是AB中点，证明AC₁∥平面B₁CM；
（2）当BM长是多少时，三棱锥B₁-BCM的体积是三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积的$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 （1）连结BC₁，交B₁C于E，连结ME，根据中位线定理得出AC₁∥EM，故而AC₁∥平面B₁CM；
（2）根据棱锥和棱柱的体积公式可知S_△BCM=$\frac{1}{3}$S_△ABC，故而BM=$\frac{1}{3}$AB．

解答 证明：（1）连结BC₁，交B₁C于E，连结ME．
∵侧面B B₁C₁C为矩形，
∴E为BC₁的中点，又M是AB的中点，
∴ME∥AC₁．
又 ME?平面B₁CM，AC₁?平面B₁CM，
∴AC₁∥平面B₁C M．
（2）∵V${\;}_{{B}_{1}-BCM}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCM}•B{B}_{1}$，V${\;}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=S_△ABC•BB₁，
V${\;}_{{B}_{1}-BCM}$=$\frac{1}{9}$V${\;}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
∴S_△BCM=$\frac{1}{3}$S_△ABC，∴BM=$\frac{1}{3}$AB，
∵AC=BC=3，AC⊥BC，∴AB=3$\sqrt{2}$，
∴当BM=$\sqrt{2}$时，三棱锥B₁-BCM的体积是三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积的$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积公式，属于中档题．