Question

设{a_n}是公比为q的等比数列，首项a₁=

1

64

，对于n∈N^*，b_n=log 

1

2

a_n，当且仅当n=4时，数列{b_n}的前n项和取得最大值，则q的取值范围为

（2

2

，4）

．

Answer 1

分析：由b_n+1-b_n=log 

1

2

a_n+1-log 

1

2

a_n=log 

1

2

an+1

an

=log 

1

2

q，得出数列{b_n}是以log 

1

2

q为公差，以log 

1

2

a₁=6为首项的等差数列，由已知当且仅当n=4时前n项和最大，通过解不等式组 求出公比q的取值范围即可．

解答：解：因为等比数列的公比为q，首项a1=

1

64

，
∴b_n+1-b_n=log 

1

2

a_n+1-log 

1

2

a_n=log 

1

2

an+1

an

=log 

1

2

q，
∴数列{b_n}是以log 

1

2

q为公差，以log 

1

2

a₁=6为首项的等差数列，
∴b_n=5+（n-1）log 

1

2

q．
又当且仅当n=4时前n项和最大，
∴log 

1

2

q＜0，且

b4＞0 b5＜0

，
∴

6+3log 1 2 q＞0 6+4log 1 2 q＜0

，
∴-2＜log 

1

2

q＜-

3

2

，即2

2

＜q＜4，
故答案为：（2

2

，4）．

点评：本题考查了等差数列的判定，前n项和最值情况．本题得出数列{b_n}是以log 

1

2

q为公差，以log 

1

2

a₁=6为首项的等差数列为关键．