Question

11．已知函数f（x）=-x³+1+a（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [0，e³-4]
• B． [0，$\frac{1}{{e}^{3}}$+2]
• C． [$\frac{1}{{e}^{3}}$+2，e³-4]
• D． [e³-4，+∞）

Answer 1

分析 根据题意，可以将原问题转化为方程a+1=x³-31nx在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有解，构造函数g（x）=x³-31nx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1=x³-31nx在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有解，必有1≤a+1≤e³-3，解可得a的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，若函数f（x）=-x³+1+a（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，
则方程-x³+1+a=-3lnx在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有解，
-x³+1+a=-3lnx?a+1=x³-31nx，即方程a+1=x³-31nx在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有解，
设函数g（x）=x³-31nx，其导数g′（x）=3x²-$\frac{3}{x}$=$\frac{3（{x}^{3}-1）}{x}$，
又由x∈[$\frac{1}{e}$，e]，g′（x）=0在x=1有唯一的极值点，
分析可得：当$\frac{1}{e}$≤x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
故函数g（x）=x³-31nx有最小值g（1）=1，
又由g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{3}}$+3，g（e）=e³-3；比较可得：g（$\frac{1}{e}$）＜g（e），
故函数g（x）=x³-31nx有最大值g（e）=e³-3，
故函数g（x）=x³-31nx在区间[$\frac{1}{e}$，e]上的值域为[1，e³-3]；
若方程a+1=x³-31nx在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有解，
必有1≤a+1≤e³-3，则有0≤a≤e³-4，
即a的取值范围是[0，e³-4]；
故选：A．

点评 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知存在关于x轴对称的点转化为方程a-x³=-3lnx?-a=3lnx-x³在上有解．