Question

18．已知函数f（x）=-（-1+2cos²x）sin2x，若f（$\frac{α}{4}$）=-$\frac{2}{5}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），求sin（α+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cosα的值，再利用两角和差的正弦公式求得sin（α+$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：∵函数f（x）=-（-1+2cos²x）sin2x=-cos2xsin2x=-$\frac{1}{2}$sin4x，
若f（$\frac{α}{4}$）=-$\frac{1}{2}$sinα=-$\frac{2}{5}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），∴sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{3}{5}$，
∴sin（α+$\frac{π}{3}$）=sinαcos$\frac{π}{3}$+cosαsin$\frac{π}{3}$=$\frac{4}{5}•\frac{1}{2}$+（-$\frac{3}{5}$）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．