Question

设x_n={1，2…，n}（n∈N₊），对x_n的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最小元素，当A取遍x_n的所有非空子集时，对应的f（A）的和为S_n，则：①S₃=______，②S_n=______．

Answer 1

由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2^n-1次．
故有2^n-1个子集含1，有2^n-2个子集不含1含2，有2^n-3子集不含1，2，含3…有2^k-1个子集不含1，2，3…k-1，而含k．
所以S_n=2^n-1×1+2^n-2×2+…+2¹×（n-1）+n
S_n=n•1+（n-1）•2+…+2•2^n-2+1•2^n-1…①
所以2S_n=n•2+（n-1）•4+…+2•2^n-1+1•2ⁿ…②
所以①-②可得-S_n=n-（2+4+…+2^n-1+2ⁿ）
所以S_n=2ⁿ⁺¹-n-2
所以S₃=11．
故答案为①S₃=11，②S_n=2ⁿ⁺¹-n-2．