Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|，x＞0}\\{{x}^{2}+4x+1，x≤0}\end{array}\right.$，g（x）=f（x）-a
（1）当a=2时，求函数g（x）的零点；
（2）若函数g（x）有四个零点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记g（x）得四个零点分别为x₁，x₂，x₃，x₄，求x₁+x₂+x₃+x₄的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数零点的定义解方程即可．
（2）利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行判断求解．
（3）根据函数图象结合函数的对称性进行判断即可．

解答 解：（1）当x＞0时，由|lnx|=2解得x=e²或x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，…（2分）
当x≤0时，由x²+4x+1=2解得x=-2+$\sqrt{5}$（舍）或x=-2-$\sqrt{5}$，
∴函数g（x）有三个零点，分别为x=e²或x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，x=-2-$\sqrt{5}$．…（4分）
（2）函数g（x）=f（x）-a的零点个数即f（x）的图象与c的图象的交点个数，
作函数f（x）的图象y=a的图象，结合两函数图象可知，
函数g（x）有四个零点时a的取值范围是0＜a≤1；…（8分）
（3）不妨设x₁＜x₂＜x₃＜x₄，结合图象知x₁+x₂=-4且0＜x₃＜1，x₄＞1，…（9分）
由|lnx₃|=|lnx₄|=a，知x₃x₄=1且x₄∈（1，e]，
∴x₃+x₄=$\frac{1}{{x}_{4}}$+x₄∈（2，e+$\frac{1}{e}$]，…（11分）
故x₁+x₂+x₃+x₄的取值范围是∈（-2，e+$\frac{1}{e}$-4]…（12分）

点评 本题主要考查函数零点的求解以及函数零点个数的判断，利用转化法转化为两个函数的图象问题是解决本题的关键．