Question

如图，

在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD，点F是棱PD的中点，点E在棱CD上移动．

(1)当点E为CD的中点时，试判断直线EF与平面PAC的关系，并说明理由；

(2)求证：PE⊥AF.

Answer 1

 (1)解析：当点E为CD的中点时，EF∥平面PAC，

∵点E，F分别是CD，PD的中点，

∴EF∥PC.

∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，

∴EF∥平面PAC.

(2)证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴CD⊥PA.

又∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD.

∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.

∵AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF.

∵PA＝AD，点F是棱PD的中点，∴PD⊥AF.

又∵CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC.

∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF.