Question

14．某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：

（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：

等级	一等品	二等品	三等品
重量（g）	[165，185]	[155，165）	[145，155）

若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X，求x的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图先求出每条海鱼平均重量，由此能估计这批海鱼有多少条．
（Ⅱ）从这批海鱼中随机抽取3条，[155，165）的频率为0.04×10=0.4，则X～B（3，0.4），由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图得每条海鱼平均重量为：
$\overline{x}$=150×0.016×10+160×0.040×10+170×0.032×10+180×0.012×10=164（g），
∵经销商购进这批海鱼100千克，
∴估计这批海鱼有：（100×1000）÷164≈610（条）．
（Ⅱ）从这批海鱼中随机抽取3条，[155，165）的频率为0.04×10=0.4，
则X～B（3，0.4），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（0.6）^{3}$=0.216，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（0.4）（0.6）^{2}$=0.432，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（0.4）^{2}（0.6）$=0.288，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（0.4）^{3}$=0.064，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

∴E（X）=3×0.4=1.2．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．