Question

9．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-1（x∈R）；
（1）写出函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，且a+c=4，试求b的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦化简，由周期公式求得周期，再由相位在正弦函数的增区间内求得x的范围求得f（x）单调递增区间；
（2）把f（B）=0代入函数解析式，求得B，展开数量积$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，求得ac的值，结合a+c=4，利用余弦定理求得b的值．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-1=$2sin（2x+\frac{π}{6}）-1$．
∴T=$\frac{2π}{2}=π$；
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．
∴函数f（x）的单调递增区间为[$-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z；
（2）由f（B）=$2sin（2B+\frac{π}{6}）-1$=0，得$sin（2B+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
∴$2B+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{6}$或$2B+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{5π}{6}$，k∈Z．
∵B是三角形内角，∴B=$\frac{π}{3}$．
而$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=ac•cosB=$\frac{3}{2}$，∴ac=3．
又a+c=4，∴a²+c²=（a+c）²-2ac=16-2×3=10．
∴b²=a²+c²-2ac•cosB=7．
则b=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了平面向量的数量积运算，训练了利用余弦定理求解三角形，是中档题．