Question

已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）-

2x

x+2

．
（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x₁，x₂，且f（x₁）+f（x₂）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数在某点取得极值的条件

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；
（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）-

2x

x+2

．
∴f′（x）=

a

1+ax

-

4

(x+2)2

=

ax2-4(1-a)

(1+ax)(x+2)2

，
∵（1+ax）（x+2）²＞0，∴当1-a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，
当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=±

2 a(1-a)

a

，则函数f（x）在（0，

2 a(1-a)

a

）单调递减，在（

2 a(1-a)

a

，+∞）单调递增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．
因此要使f（x）存在两个极值点x₁，x₂，则必有0＜a＜1，又f（x）的极值点值可能是x₁=

2 a(1-a)

a

，x₂=-

2 a(1-a)

a

，
且由f（x）的定义域可知x＞-

1

a

且x≠-2，
∴-

2 a(1-a)

a

＞-

1

a

且-

2 a(1-a)

a

≠-2，解得a≠

1

2

，则x₁，x₂分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，
∴f（x₁）+f（x₂）=ln[1+ax₁]-

2x1

x1+2

+ln（1+ax₂）-

2x2

x2+2

=ln[1+a（x₁+x₂）+a²x₁x₂]-

4x1x2+4(x1+x2)

x1x2+2(x1+x2)+4

=ln（2a-1）²-

4(a-1)

2a-1

=ln（2a-1）²+

2

2a-1

-2．
令2a-1=x，由0＜a＜1且a≠

1

2

得，
当0＜a＜

1

2

时，-1＜x＜0；当

1

2

＜a＜1时，0＜x＜1．
令g（x）=lnx²+

2

x

-2．
（i）当-1＜x＜0时，g（x）=2ln（-x）+

2

x

-2，∴g′（x）=

2

x

-

2

x2

=

2x-2

x2

＜0，
故g（x）在（-1，0）上单调递减，g（x）＜g（-1）=-4＜0，
∴当0＜a＜

1

2

时，f（x₁）+f（x₂）＜0；
（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+

2

x

-2，g′（x）=

2

x

-

2

x2

=

2x-2

x2

＜0，
故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，
∴当

1

2

＜a＜1时，f（x₁）+f（x₂）＞0；
综上所述，a的取值范围是（

1

2

，1）．

点评：本题主要考查学生对含有参数的函数的单调性及极值的判断，考查利用导数判断函数的单调性及求极值的能力，考查分类讨论思想及转化划归思想的运用和运算能力，逻辑性综合性强，属难题．