Question

10．如图，平面ABEF⊥平面CBED，四边形ABEF为直角三角形，∠AFE=∠FEB=90°，四边形CBED为等腰梯形，CD∥BE，且BE=2AF=2CD=2BC=2EF=4．
（Ⅰ）若梯形CBED内有一点G，使得FG∥平面ABC，求点G的轨迹；
（Ⅱ）求多面体ABCDEF体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BE的中点O，连接OD，OF，则DO∥BC，FO∥AB，可得平面DFO∥平面ABC，即可得出结论；
（Ⅱ）利用分割法，求多面体ABCDEF体积．

解答 解：（Ⅰ）取BE的中点O，连接OD，OF，则DO∥BC，FO∥AB，
∴平面DFO∥平面ABC，
∴G的轨迹为线段DO时，FG∥平面ABC；
（Ⅱ）三棱柱ABC-DOF的直截面的边长分别为2，$\sqrt{3}$，$\sqrt{7}$，面积为$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，体积为$\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$，
三棱锥F-ODE的体积为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
多面体ABCDEF体积=2$\sqrt{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查几何体体积的计算，正确分割是关键．