Question

f（x）=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1）（n∈N，且n≥2），先计算x₂，x₃，x₄，后猜想的x_n=

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：由题意和函数解析式依次求出x₂，x₃，x₄，再归纳出规律并猜想得到x_n的表达式．

解答： 解：因为f（x）=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1）（n∈N，且n≥2），
所以x₂=f（x₁）=

2

1+2

=

2

3

；x₃=f（x₂）=

2× 2 3

2 3 +2

=

1

2

；
x₄=f（x₃）=

2× 1 2

1 2 +2

=

2

5

，
即x₁=1=

2

1+1

，x₂=

2

3

=

2

2+1

，x₃=

1

2

=

2

3+1

，x₄=

2

5

=

2

4+1

猜想得，x_n=

2

n+1

，
故答案为：

2

n+1

．

点评：本题考查归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．