Question

15．设函数$f（x）=sin（ωx-\frac{3π}{4}）（ω＞0）的最小正周期为π$
（Ⅰ）求ω；      
（Ⅱ）若$f（\frac{α}{2}+\frac{3π}{8}）=\frac{24}{25}$，且$α∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，求sin2α的值．
（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象（完成列表并作图）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的周期为π，利用周期公式可得ω的值．
（Ⅱ）根据$f（\frac{α}{2}+\frac{3π}{8}）=\frac{24}{25}$，求出sinα的值，即可求解sin2α的值．
（Ⅲ）利用列表，描点，即可得图象．

解答 解：（Ⅰ）∵函数$f（x）=sin（ωx-\frac{3π}{4}）（ω＞0）的最小正周期为π$，
∴$\frac{2π}{ω}=π$．
∴ω=2．
∴函数的解析式为：$f（x）=sin（2x-\frac{3π}{4}）$，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=sin（2x-\frac{3π}{4}）$，
由$f（\frac{α}{2}+\frac{3π}{8}）=\frac{24}{25}$，即sin（$2×\frac{α}{2}+\frac{3π}{8}×2-\frac{3π}{4}$）=$\frac{24}{25}$
得：$sinα=\frac{24}{25}$．
∵$-\frac{π}{2}＜α＜\frac{π}{2}$
∴$cosα=\frac{7}{25}$
故得sin2α=2sinαcosα=$\frac{336}{625}$．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知$f（x）=sin（2x-\frac{3π}{4}）$，于是有（1）列表

x	0	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$x∈[0，\frac{π}{2}]$	$\frac{7π}{8}$	π
y	$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$	-1	0	1	0	$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

描点，连线，函数y=f（x）在区间[0，π]上图象如下：

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据画三角函数的图象的基本步骤画出图形，是基础题．