Question

11．已知圆C₁：x²+y²=2和圆C₂，直线l与圆C₁相切于点（1，1）；圆C₂的圆心在射线2x-y=0（x≥0）上，圆C₂过原点，且被直线l截得的弦长为4$\sqrt{3}$．
（1）求直线l的方程；
（2）求圆C₂的方程．

Answer 1

分析 （1）求出直线l的斜率，即可求直线l的方程；
（2）利用勾股定理，求出圆心坐标与半径，即可求圆C₂的方程．

解答 解：（1）∵直线l与圆C₁相切于点（1，1），
∴直线l的斜率k=-1，
∴直线l的方程为x+y-2=0--------（4分）
（2）由已知可设C₂（a，2a）（a＞0），
∵圆C₂过原点，∴$r=\sqrt{5}a$------（6分）
圆心C₂到直线l的距离d=$\frac{|3a-2|}{\sqrt{2}}$，------（8分）
又弦长为4$\sqrt{3}$，∴$12+\frac{（3a-2）^{2}}{2}=5{a}^{2}$，
∵a＞0，∴a=2，
∴圆C₂的方程为（x-2）²+（y-4）²=20．--------（12分）

点评 本题考查直线与圆的方程，考查点到直线的距离公式，属于中档题．