Question

20．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足$\frac{1}{2}$S_n=a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{a_n}中的任意三项不可能成等差数列．

Answer 1

分析 （1）由已知数列递推式求得首项，得到n-1时的递推式，两式作差可得数列{a_n}为等比数列，由此求得数列通项公式；
（2）假设{a_n}中存在三项a_r，a_s，a_t按某种顺序成等差数列，利用等差中项的概念得到2•2^s=2^r+2^t，两边同除以2^r得矛盾，说明假设错误．

解答 （1）解：由$\frac{1}{2}$S_n=a_n-1  ①，得a₁=2，
且$\frac{1}{2}{S}_{n-1}={a}_{n-1}-1$  ②，
①-②得，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=2$（n≥2），
∴数列{a_n}为等比数列，首项为2，公比为2，
∴${a}_{n}={2}^{n}$；
（2）证明：假设{a_n}中存在三项a_r，a_s，a_t按某种顺序成等差数列，
∵${a}_{n}={2}^{n}$单增，∴a_r＜a_s＜a_t，则2a_s=a_r+a_t，即2•2^s=2^r+2^t，
同除以2^r得，2•2^s-r=1+2^t-r，
∵s-r≥1，t-r≥1，∴左端为偶数，右端为奇数，矛盾．
∴任意三项不可能成等差数列．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了反证法在存在性问题中的用法，是中档题．