Question

设函数f（x）的定义域为R，对任意实数α，β，有f（α）+f（β）=2f（

α+β

2

）f（

α-β

2

），且f（

π

3

）=

1

2

，f（

π

2

）=0
（1）求证：f（-x）=f（x）=-f（π-x）；
（2）若0≤x＜

π

2

时，f（x）＞0，求证：f（x）在[0，π]上单调递减；
（3）求f（x）的最小正周期．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法，即可证明
（2）利用函数的单调性的定义证明即可，
（3）利用周期函数的定义即可求出f（x）的最小正周期

解答： 解：（1），设α=β=

π

3

，代入得2f（

π

3

）=2f（

π

3

）×f（0），得f（0）=1，
再设α=π，β=0，有f（0）+f（π）=2f（

π

2

）×f（

π

2

），得f（π）=-1，
设α=x，β=-x，则有f（x）+f（-x）=2f（x）×f（0）=2f（x）
∴f（-x）=f（x），
再设α=x，β=π-x，则有f（x）+f（π-x）=2f（

π

2

）×f（

2x-π

2

）=0，
∴f（x）=-f（π-x）
综上所述f（-x）=f（x）=-f（π-x）；
（2）设x₁，x₂∈[0，π]，且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（π-x₂）=2f（

π+x1-x2

2

）f（

x1+x2-π

2

），
∵x₁-x₂＜0，
∴0＜

π+x1-x2

2

＜

π

2

，
∴f（

π+x1-x2

2

）＞0，
又∵0＜x₁+x₂＜2π，
∴0＜

π-x1-x2

2

＜

π

2

∴f（

x1+x2-π

2

）=f（

π-x1-x2

2

）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在[0，π]上单调递减；
（3）∵f（-x）=-f（π-x），-x看作整体f（x）=-f（π+x），
∴f（π+x）=f（π-x），
∴f（π+π+x）=f（π-π-x）=f（-x）=f（x）
∴f（2π+x）=f（x），
∴函数f（x）的最小正周期为2π

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性和运用，函数的周期性，考查运算能力，属于中档题