Question

已知函数f（x）=2cosx•sin（x-

π

6

）．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f（

α

2

）=

1

4

，（

2π

3

＜α＜

5π

3

），求

cos(α+ 3π 2 )

tan(π+α)

．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用两角和与差的三角函数展开，再结合倍角公式等化简f（x），然后求单调区间；
（2）由（1）求出sin（α-

π

6

）=

3

4

，再结合角的范围以及平方关系求出cos（α-

π

6

），利用角的等价变换求值．

解答： 解：（1）f（x）=2cosx•sin（x-

π

6

）=2cosx（

3

2

sinx-

1

2

cosx）
=

3

sinxcosx-cos²x=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

=sin（2x-

π

6

）-

1

2

；
要求f（x）的减区间，只要2x-

π

6

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，k∈Z，∴x∈[

π

3

+kπ，

4π

3

+kπ]；
所以函数f（x）的单调递减区间是[

π

3

+kπ，

4π

3

+kπ]；k∈Z
（2）因为f（

α

2

）=

1

4

，（

2π

3

＜α＜

5π

3

），所以sin（α-

π

6

）=

3

4

，
∵

2π

3

＜α＜

5π

3

，∴

π

2

＜α-

π

6

＜

3π

2

，
∴cos（α-

π

6

）=-

7

4

，
∴

cos(α+ 3π 2 )

tan(π+α)

=

sinα

tanα

=cosα=cos（α-

π

6

+

π

6

）
=cos（α-

π

6

）cos

π

6

-sin（α-

π

6

）sin

π

6

=-

7

4

×

3

2

-

3

4

×

1

2

=

- 21 -3

8

．

点评：本题考查了三角函数的诱导公式、倍角公式的运用化简三角函数式；关键是熟练三角函数公式．