Question

1．各项均为正数的递增等比数列{a_n}满足a₁=1，且a₂a₄，a₃a₅+18，a₄a₆成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式：；
（2）若b_n=log₃a_n+$\frac{1}{2}$，c_n=1$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}{b}_{n+2}}$+（-1）ⁿb${\;}_{n}^{2}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q（q＞1）；从而可得2（q⁶+18）=q⁴+q⁸，从而解方程即可；
（2）化简b_n=log₃a_n+$\frac{1}{2}$=log₃3${\;}^{\frac{n-1}{2}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，c_n=1$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}{b}_{n+2}}$+（-1）ⁿb${\;}_{n}^{2}$=$\frac{8}{n（n+1）（n+2）}$+（-1）ⁿ$\frac{{n}^{2}}{4}$，从而利用分组求和及裂项求和法求解．

解答 解：（1）设各项均为正数的递增等比数列{a_n}的公比为q（q＞1）；
则a₂a₄=q⁴，a₃a₅=q⁶，a₄a₆=q⁸，
∵a₂a₄，a₃a₅+18，a₄a₆成等差数列，
∴2（q⁶+18）=q⁴+q⁸，
即q⁸-2q⁶+q⁴-36=0，
即（q²-3）（q⁶+q⁴+4q²+12）=0，
故q=$\sqrt{3}$，
故a_n=$\sqrt{3}$^n-1=3${\;}^{\frac{n-1}{2}}$．
（2）b_n=log₃a_n+$\frac{1}{2}$=log₃3${\;}^{\frac{n-1}{2}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，
c_n=1$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}{b}_{n+2}}$+（-1）ⁿb${\;}_{n}^{2}$=$\frac{8}{n（n+1）（n+2）}$+（-1）ⁿ$\frac{{n}^{2}}{4}$
=4[$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]+（-1）ⁿ$\frac{{n}^{2}}{4}$，
当n为偶数时，
T_n=4[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{12}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]+$\frac{1}{4}$（2²-1²+4²-3²+…+n²-（n-1）²）
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$）+$\frac{1}{4}$•$\frac{n（1+n）}{2}$，
当n为奇数时，
T_n=4[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{12}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]+$\frac{1}{4}$（2²-1²+4²-3²+…+（n-1）²-（n-2）²-n²）
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$）+$\frac{1}{4}$•（$\frac{（n-1）n}{2}$-n²）
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$）-$\frac{1}{4}$•$\frac{n（1+n）}{2}$
综上所述，T_n=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$）+（-1）ⁿ$\frac{1}{4}$•$\frac{n（1+n）}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及分组求和与裂项求和的应用．