Question

19．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$na_n+a_n-c（c是常数，n∈N^*），a₂=6．
（Ⅰ）求c的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{{a_n}-2}}{{{2^{n+1}}}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，若2T_n＞m-2对n∈N^*恒成立，求最大正整数m的值．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵${S_n}=\frac{1}{2}n{a_n}+{a_n}-c$，
当n=1时，${S_1}=\frac{1}{2}{a_1}+{a_1}-c$，
解得a₁=2c，
当n=2时，S₂=a₂+a₂-c，
即a₁+a₂=a₂+a₂-c，
解得a₂=3c，∴3c=6，
解得c=2．
则a₁=4，数列{a_n}的公差d=a₂-a₁=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+2．
（Ⅱ）∵${b_n}=\frac{{{a_n}-2}}{{{2^{n+1}}}}=\frac{2n+2-2}{{{2^{n+1}}}}=\frac{n}{2^n}$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$ ①
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$  ②
①-②得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，
∴${T_n}=2-\frac{2+n}{2^n}$，
∵${T_{n+1}}-{T_n}=（2-\frac{2+n+1}{{{2^{n+1}}}}）-（2-\frac{2+n}{2^n}）=\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}＞0$，
∴数列{T_n}单调递增，T₁最小，最小值为$\frac{1}{2}$，
∴$2×\frac{1}{2}＞m-2$，
∴m＜3，
故正整数m的最大值为2．

点评 本题考查了递推关系、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．