Question

17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；
（2）已知△ABC的内角分别是A，B，C，A为锐角，且f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{2}$，求cosA的值．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用同角三角函数的基本关系，求得 cosA 的值．

解答 解：（1）由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，可得$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}$，∴ω=2，
再根据五点法作图可得2•$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵已知△ABC的内角分别是A，B，C，A为锐角，且f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）=sinA=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{6}$，
∴cosA=$\sqrt{{1-sin}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，同角三角函数的基本关系，属于基础题．