Question

2．设函数f（x）=xe^x-ax（a∈R，a为常数），e为自然对数的底数．
（1）若函数f（x）的任意一条切线都不与y轴垂直，求a的取值范围；
（2）当a=2时，求使得f（x）+k＞0成立的最小正整数k．

Answer 1

分析 （1）由已知函数f（x）的任意一条切线都不与x轴平行等价于f'（x）=0在R上无解，记g（x）=（x+1）e^x-a，通过导数求解函数g_min（x）＞0，即可得到a的范围．
（2）当a=2时，转化为xe^x-2x＞-k恒成立，令f（x）=xe^x-2x，通过导数判断函数的单调性，求出f（x）取到最小值，求出使得f（x）+k＞0恒成立的最小正整数k的值为1．

解答 解：（1）由已知函数f（x）的任意一条切线都不与x轴平行等价于f'（x）=0在R上无解．…（1分）
f'（x）=（x+1）e^x-a，…（2分）
记g（x）=（x+1）e^x-a，则g'（x）=（x+2）e^x
令g'（x）=0，则x=-2，所以${g_{min}}（x）=-{e^{-2}}-a$，…（3分）
又当x→+∞时，g（x）→+∞
所以须且只需g_min（x）＞0…（4分）
解得a＜-e^-2…（5分）
（2）当a=2时，要使f（x）+k＞0恒成立，即xe^x-2x＞-k恒成立，…6分
令f（x）=xe^x-2x，则f'（x）=h（x）=（x+1）e^x-2，h'（x）=（x+2）e^x，
当x∈（-∞，-2）时，h'（x）＜0，函数h（x）在（-∞，-2）上单调递减；
当x∈（-2，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）的（-2，+∞）上单调递增．…（7分）
又因为x∈（-∞，-1）时，h（x）＜0，且h（0）=-1＜0，h（1）=2e²-2＞0，
所以，存在唯一的x₀∈（0，1），使得$f'（{x_0}）=h（{x_0}）=（{{x_0}+1}）{e^{x_0}}-2=0$，…（8分）
当x∈（-∞，x₀）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（-∞，x₀）上单调递减；
当x∈（x₀，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（x₀，+∞）上单调递增．
所以，当x=x₀时，f（x）取到最小值．…（9分）
$f（{x_0}）={x_0}{e^{x_0}}-2{x_0}=\frac{{2{x_0}}}{{{x_0}+1}}-2{x_0}=4-2（{{x_0}+1+\frac{1}{{{x_0}+1}}}）$，…（10分）
因为x₀∈（0，1），所以f（x₀）∈（-1，0），…（11分）
从而使得f（x）+k＞0恒成立的最小正整数k的值为1．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．