Question

8．定义函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1.5]=1，[-1.3]=-2．当x∈[0，n）（n∈N^*）时，设函数f（x）的值域为A，记集合A中的元素个数构成一个数列{a_n}，则数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$．

Answer 1

分析 先由题意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到[x[x]]在各区间中的元素个数，进而得到结论．

解答 解：根据题意：[x]=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈[0，1）}\\{1，x∈[1，2）}\\{…}\\{n-1．x∈[n-1，n）}\end{array}\right.$
∴x[x]=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈[0，1）}\\{x，x∈[1，2）}\\{…}\\{（n-1）x，x∈[n-1，n）}\end{array}\right.$
∴[x[x]]在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，…，n-1
∵函数f（x）的值域为A，
∴集合A中的元素个数为a_n=1+1+2+…+n-1=1+$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$
故答案为：$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$

点评 本题主要通过取整函数来建立新函数，进而研究其定义域和值域，属于中档题．