Question

数列{a_n}的n前项和为S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）是否存在m，使数列{a_n-（n+m）2^n-1}是等比数列，若存在，求m的取值范围并求a_n；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）因为数列{a_n}的n前项和为S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ．
当n=1，2，3时解得a₁=2，a₂=6，a₃=16；
（2）由（1）及题意a_n=s_n-s_n-1=2a_n-2ⁿ-（2a_n-1-2^n-1）?a_n=2a_n-1+2^n-1
∴=故{}是以1为首项，以为公差的等差数列
所以 =1+，
∴a_n=（n+1）×2^n-1，
所以a_n-（n+m）2^n-1=（1-m）×2^n-1
当m≠1，a_n-（n+m）2^n-1}是等比数列
故存在实数m≠1，使{a_n-（n+m）2^n-1}是等比数列．
分析：（1）直接利用递推关系式，通过n=1，2，3，求出a₁，a₂，a₃的值．
（2）利用已知条件，求出通项公式，判断a_n-（n+m）2^n-1，是等比数列时，求出m的值即可．
点评：本题是中档题，考查数列的递推关系式的应用，判断数列是不是等比数列的条件，考查计算能力．