Question

20．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}\\{x^2}-2x+2\end{array}\right.\begin{array}{l}（x≤1）\\（x＞1）\end{array}$，若关于x的方程f（x）-m=0有两个不相等的实根，则实数m的取值范围为（1，2]．

Answer 1

分析 画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}\\{x^2}-2x+2\end{array}\right.\begin{array}{l}（x≤1）\\（x＞1）\end{array}$的图象，和直线y=m，将关于x的方程f（x）=m有两个不等的实根等价于f（x）的图象与直线有且只有两个交点．通过平移直线，观察即可得到．

解答 解：画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}\\{x^2}-2x+2\end{array}\right.\begin{array}{l}（x≤1）\\（x＞1）\end{array}$的图象，
和直线y=m，
关于x的方程f（x）=m有两个不等的实根等价于f（x）的图象与直线有且只有两个交点．
观察得出：
1＜m≤2有且只有2个交点．
故实数k的取值范围是（1，2]．
故答案为：（1，2]．

点评 本题考查方程的根的个数，考查数形结合的思想方法，注意转化思想，转化为函数的图象的交点个数问题，属于中档题．