Question

已知点F₁、F₂为双曲线C：x2-

y2

b2

=1(b＞0)的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF₁F₂=30°．圆O的方程是x²+y²=b²．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P₁、P₂，求

PP1

•

PP2

的值；
（3）过圆O上任意一点Q（x₀，y₀）作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：|

AB

|=2|

OM

|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）确定|MF₂|=b²，|MF₁|=2b²，由双曲线的定义可知：|MF₁|-|MF₂|=b²=2，从而可得双曲线C的方程；
（2）确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点P（x₀，y₀），求出点P到两条渐近线的距离，利用P（x₀，y₀）在双曲线C上，及向量的数量积公式，即可求得结论；
（3）分类讨论：①当切线l的斜率存在，设切线l的方程代入双曲线C中，利用韦达定理，结合直线l与圆O相切，可得|AB|=2|OM|成立；②当切线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，即可得到结论．

解答： （1）解：设F₂，M的坐标分别为(

1+b2

，0)，(

1+b2

，y0)
因为点M在双曲线C上，所以1+b2-

y02

b2

=1，即y0=±b2，所以|MF2|=b2
在Rt△MF₂F₁中，∠MF1F2=300，|MF2|=b2，所以|MF1|=2b2…（2分）
由双曲线的定义可知：|MF1|-|MF2|=b2=2
故双曲线C的方程为：x2-

y2

2

=1…（4分）
（2）解：由条件可知：两条渐近线分别为l1：

2

x-y=0；l2：

2

x+y=0…（5分）
设双曲线C上的点Q（x₀，y₀），设两渐近线的夹角为θ，则
则点Q到两条渐近线的距离分别为|PP1|=

| 2 x0-y0|

3

，|PP2|=

| 2 x0+y0|

3

…（7分）
因为Q（x₀，y₀）在双曲线C：x2-

y2

2

=1上，所以2x02-y02=2
又cosθ=

1

3

，
所以

PP1

•

PP2

=

| 2 x0-y0|

3

•

| 2 x0+y0|

3

cosθ=

|2x02-y02|

3

•

1

3

=

2

9

…（10分）
（3）证明：由题意，即证：OA⊥OB．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切线l的方程为：x₀x+y₀y=2…（11分）
①当y₀≠0时，切线l的方程代入双曲线C中，化简得：(2y02-x02)x2+4x0x-(2y02+4)=0
所以：x1+x2=-

4x0

(2y02-x02)

，x1x2=-

(2y02+4)

(2y02-x02)

又y1y2=

(2-x0x1)

y0

•

(2-x0x2)

y0

=

1

y02

[4-2x0(x1+x2)+x02x1x2]=

8-2x02

2y02-x02

…（13分）
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-

(2y02+4)

(2y02-x02)

+

8-2x02

2y02-x02

=

4-2(x02+y02)

2y02-x02

=0…（15分）
②当y₀=0时，易知上述结论也成立．  所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0…（16分）
综上，OA⊥OB，所以|

AB

|=2|

OM

|．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．