Question

已知复数z=

3

sin

A+B

2

+icos

A-B

2

的模|z|=

2

，且A≠

m

2

π，B≠

n

2

π，m，n∈Z．求tanAtanB的值．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：利用模的计算公式可得3sin²

A+B

2

+cos²

A-B

2

=2，再利用倍角公式、两角和差的正弦余弦公式可得．

解答： 解：由z=

3

sin

A+B

2

+icos

A-B

2

及|z|=

2

，
得

( 3 sin A+B 2 )2+(cos A-B 2 )2

=

2

，
即3sin²

A+B

2

+cos²

A-B

2

=2，
∴3×

1-cos(A+B)

2

+

1+cos(A-B)

2

=2，
即3cos（A+B）=cos（A-B），
化为3（cosAcosB-sinAsinB）=cosAcosB+sinAsinB，
∴2sinAsinB=cosAcosB，
又由A≠

m

2

π，B≠

n

2

π，m，n∈Z知cosAcosB≠0，
得2

sinAsinB

cosAcosB

=1，
即tanAtanB=

1

2

．

点评：本题考查了模的计算公式、三角函数倍角公式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．