Question

3．已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[-1，4]上的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在区间[-1，4]的值域．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＜0的解集是（0，5），可知f（x）图象开口向上，对称轴为x=$\frac{5}{2}$，且f（0）=f（5）=0，f（x）在区间[-1，4]上的最大值是12可得f（-1）=12，然后利用待定系数法列出方程组解出a，b，c；
（2）根据f（x）的对称轴得出f（x）在[-1，4]上先减后增，求出最大值和最小值即可．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c
∵f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5），
∴a＞0且f（0）=f（5）=0，
∴f（x）的对称轴为x=$\frac{5}{2}$，
∵f（x）在[-1，4]上的最大值是12，
∴f（-1）=12．
即$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{25a+5b=0}\\{a-b=12}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=-10，c=0
∴f（x）=2x²-10x．
（2）∵y=f（x）对称轴为x=$\frac{5}{2}$，
∴f（x）在[-1，$\frac{5}{2}$]上单调递减，在[$\frac{5}{2}$，4]上单调递增
∴当x=$\frac{5}{2}$时，f（x）取最小值f（$\frac{5}{2}$）=$-\frac{25}{2}$，
单x=-1时，f（x）取最大值f（-1）=12．
∴f（x）值域为$[{-\frac{25}{2}，12}]$．

点评 本题考查了二次函数与二次不等式的关系，图象的性质及单调性，利用图象的对称性找到对称轴是解题关键，属于基础题．