Question

15．某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了2名男生、1名女生，B中学推荐了3名男生、2名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．
（Ⅰ）集训后所有学生站成一排合影留念，其中女生不站在两端，有多少种不同的站法；
（Ⅱ）现从这8名学生中随机选择4人去参加比赛，求：
①选定的4人中至少有1名女生的概率；
②选定的4人中恰有2名男生且这2名男生来自同一所中学的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由两端不站女生，得到两端的位置共有$A_5^2$种排法，余下的6个位置共有$A_6^6$种不同的排法，由此利用分步计数原理，能求出女生不站在两端的不同的站法总数．
（Ⅱ）①记“选定的4人中至少有1名女生“为事件A，利用对立事件概率计算公式能求出选定的4人中至少有1名女生的概率．
②记“选定的4人中恰有2名男生且这2名男生来自同一所中学“为事件B，利用互斥事件概率加法公式能求出选定的4人中恰有2名男生且这2名男生来自同一所中学的概率．

解答 解：（Ⅰ）∵两端不站女生，∴两端的位置共有$A_5^2$种排法，
余下的6个位置共有$A_6^6$种不同的排法，
再根据分步计数原理，共有$A_5^2A_6^6=14400$种不同的排法． …（4分）
（Ⅱ）①记“选定的4人中至少有1名女生“为事件A，
则$P（A）=1-\frac{C_5^4}{C_8^4}=\frac{13}{14}$，
∴选定的4人中至少有1名女生的概率为$\frac{13}{14}$．…（8分）
②记“选定的4人中恰有2名男生且这2名男生来自同一所中学“为事件B，
则$P（B）=\frac{C_2^2C_3^2+C_3^2C_3^2}{C_8^4}=\frac{12}{70}=\frac{6}{35}$，
∴选定的4人中恰有2名男生且这2名男生来自同一所中学的概率为$\frac{6}{35}$．…（12分）

点评 本题考查分步计数原理的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公式的合理运用．