Question

18．已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，f（x+2）≥0的解集为[-2，2]．
（1）求m的值；
（2）若?x∈R，f（x）≥-|2x-1|-t²+$\frac{3}{2}$t恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意将x+2带入，可得f（x+2）≥0等价于|x|≤m的解集为[-2，2]．从而求出m的值．
（2）将函数变形，分离参数，分段函数去绝对值，从而求实数t的取值范围．

解答 解：（1）因为f（x+2）=m-|x|，所以f（x+2）≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，那么：m≥0，
其解集为{x|-m≤x≤m}．
又f（x+2）≥0的解集为[-2，2]，
故m=2．
（2）?x∈R，f（x）≥-|2x-1|-t²+$\frac{3}{2}$t恒成立
那么：$f（x）≥-|{2x-1}|-{t^2}+\frac{3}{2}t$等价于不等式$|{2x-1}|-|{x-2}|≥-{t^2}+\frac{3}{2}t-2$，
记g（x）=|2x-1|-|x-2|，则$g（x）=\left\{\begin{array}{l}-x-1，x≤\frac{1}{2}\\ 3x-3，\frac{1}{2}＜x＜2\\ x+1，x≥2\end{array}\right.$
∵$g{（x）_{min}}=g（\frac{1}{2}）=-\frac{3}{2}$，
则有$-\frac{3}{2}≥-{t^2}+\frac{3}{2}t-2$，即2t²-3t+1≥0，
解得：$t≤\frac{1}{2}$或t≥1
故实数的取值范围$（{-∞，\frac{1}{2}}]∪[{1，+∞}）$．

点评 本题考查了不等式与方程的关系，以及分段函数的最值问题，转化为恒成立问题求解不等式．属于中档题．