Question

设数列{a_n}为等比数列，数列{b_n}满足b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，n∈N^*，已知b₁=m，b2=

3m

2

，其中m≠0．
（1）当m=1时，求b_n；
（2）设S_n为数列{a_n}的前n项和，若对于任意的正整数n，都有S_n∈[1，3]，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知b₁=a₁=m； b₂=2a₁+a₂，可得a₂，从而可求数列{a_n}的公比q，进而可求a_n，利用错位相减求和可求b_n
（2）利用等比数列的求和公式可求S_n由S_n∈[1，3]得

1

1-(- 1 2 )n

≤

2m

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，分n为奇数，n为偶数，两种情况求解可求1-(-

1

2

)n最大值，最小值，代入可求m的范围

解答：解（1）由已知b₁=a₁，所以a₁=m； 又b₂=2a₁+a₂，
所以2a1+a2=

3

2

m，
解得a2=-

m

2

；      
 所以数列{a_n}的公比q=-

1

2

；
当m=1时，an=(-

1

2

)n-1，
b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，…①，
-

1

2

bn=na2+(n-1)a3+…+2an+an+1，…②，
②-①得-

3

2

bn=-n+a2+a3+…+an+an+1，
所以-

3

2

bn=-n+

- 1 2 [1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=-n-

1

3

[1-(-

1

2

)n]，
bn=

2n

3

+

2

9

-

2

9

(-

1

2

)n=

6n+2+(-2)1-n

9

．
（2）Sn=

m[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=

2m

3

•[1-(-

1

2

)n]，
因为1-(-

1

2

)n＞0，所以由S_n∈[1，3]得

1

1-(- 1 2 )n

≤

2m

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，
注意到，当n为奇数时，1-(-

1

2

)n∈(1，

3

2

]；
当n为偶数时，1-(-

1

2

)n∈[

3

4

，1)，
所以1-(-

1

2

)n最大值为

3

2

，最小值为

3

4

．
对于任意的正整数n都有

1

1-(- 1 2 )n

≤

2m

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，
所以

4

3

≤

2m

3

≤2，解得2≤m≤3，
即所求实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}．

点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，数列求和的错位相减法的应用及恒成立与最值的相互转化关系的应用