Question

20．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）相交于不同的两点A，B．
（1）若α=$\frac{π}{3}$，求线段AB的长度；
（2）若直线的斜率为$\frac{\sqrt{5}}{4}$，且有已知点P（2，$\sqrt{3}$），求证：|PA|•|PB|=|OP|²．

Answer 1

分析 （1）由曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系可得C的普通方程．当$α=\frac{π}{3}$时，直线方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入代入曲线C的普通方程，得13t²+56t+48=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可得出．
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化为：（cos²α+4sin²α）t²+（8$\sqrt{3}$sinα+4cosα）t+12=0，利用根与系数的关系即可得出．

解答 解：（1）由曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），可得C的普通方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
当$α=\frac{π}{3}$时，直线方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
代入曲线C的普通方程，得13t²+56t+48=0，
则线段AB的长度为$|AB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{{{（-\frac{56}{13}）}^2}-4×\frac{48}{13}}=\frac{{8\sqrt{10}}}{13}$．     
（2）证明：将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，
化为：（cos²α+4sin²α）t²+（8$\sqrt{3}$sinα+4cosα）t+12=0，
∵$|PA|•|PB|=|{t_1}•{t_2}|=\frac{12}{{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}α}}=\frac{{12（{{cos}^2}α+{{sin}^2}α）}}{{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}α}}=\frac{{12（1+{{tan}^2}α）}}{{1+4{{tan}^2}α}}$，
而直线的斜率为$\frac{\sqrt{5}}{4}$，则$tanα=\frac{{\sqrt{5}}}{4}$代入上式求得|PA|•|PB|=7．
又 $OP=\sqrt{{2^2}+{{（{\sqrt{3}}）}^2}}=\sqrt{7}$，
∴|PA|•|PB|=|OP|²．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．