Question

设，在平面直角坐标系中，已知向量，，动点的轨迹为曲线

（Ⅰ）求曲线的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；

（Ⅱ）已知直线与曲线交与不同的两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这最大值及此时的实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)因为，

所以，即

当时，方程表示两直线，方程为；  

当时，方程表示圆；

当时，方程表示椭圆；

当时，方程表示双曲线．

（Ⅱ）已知，曲线的方程为，为其下焦点．

 直线过椭圆的上焦点，则的周长为

设的内切圆半径为，，因此面积越大，就越大．

设，不妨令

则

由得

得

令，则

则

令，则在上单调递增

当，取得最大值3，又

所以，这时所求内切圆面积有最大值为

故所求内切圆面积有最大值为