Question

1．已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，且满足b+ccosA=c+acosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求△ABC的周长的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2cosA=1，结合A为△ABC内角，即可得解A的值．
（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求bc=4，由余弦定理，基本不等式即可求得△ABC的周长的最小值．

解答 （本题满分为10分）
解：（Ⅰ）由正弦定理得：sinB+sinCcosA=sinC+sinAcosC，…（2分）
又sinB=sin（A+C）=sinCcosA+sinAcosC，…（3分）
∴2cosA=1，A为△ABC内角，
∴$A=\frac{π}{3}$．…（5分）
（Ⅱ）在△ABC中${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}$，
∴bc=4，…（7分）
由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，
周长$a+b+c=\sqrt{{b^2}+{c^2}-4}+b+c≥\sqrt{2bc-4}+2\sqrt{bc}=6$，…（9分）
当且仅当b=c=2时等号成立，
故△ABC的周长的最小值为6． …（10分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．