Question

9．设锐角△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2asinB-$\sqrt{3}$•b=0．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=4，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，再由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
（2）因为b+c=4，利用基本不等式，可求得bc≤4，从而可求△ABC的面积的最大值．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）利用正弦定理化简已知等式得：2sinAsinB=$\sqrt{3}$sinB，
∵sinB≠0，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A为锐角，
∴A=60°．  …（7分）
（2）由基本不等式得，∵b+c=4≥2$\sqrt{bc}$，（当且仅当b=c=2，不等式等号成立）．
∴bc≤4，…（10分）
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积的最大值为$\sqrt{3}$．  …（14分）

点评 本题的考点是解三角形，主要考查正弦定理的应用，考查三角形的面积公式，基本不等式的运用，知识点多，计算需要细心，属于基础题．